您有权要求私人老板签订劳动合同并支付双倍工资。根据《劳动合同法》，用人单位超一个月未签劳动合同需支付双倍工资，长期未签严重影响您的权益，如无法证明劳动关系、难以维权等。
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您可以通过协商、投诉或诉讼来维权。对于未签劳动合同的情况，建议先与老板协商补签并追讨赔偿；若协商无果，可向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，根据具体情况选择合适方式。
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可要求补签合同并赔偿。具体操作：1.与老板沟通，明确表达要求补签劳动合同及支付双倍工资的意愿；2.收集工作证据，如工资单、工作记录等；3.若老板拒绝，向劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁；4.必要时，寻求律师帮助，提起诉讼。