在开车撞倒摩托车后，若双方对事故责任存在争议，首先应立即报警，等待交警到场处理。根据《道路交通安全法》第七十条，交警将对现场进行勘查，并制作交通事故认定书，明确事故责任。在此过程中，切勿随意签署任何可能涉及赔偿责任的协议，以免损害自身权益。同时，应积极配合交警的调查，提供必要的证据和信息，以便交警能够公正、准确地认定事故责任。法律依据为《道路交通安全法》第七十条关于交通事故处理的规定。
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若开车撞倒摩托车后，对方提出私了，你应谨慎对待。首先，应明确私了可能带来的法律风险和后果，如责任认定不清、赔偿金额不合理等。其次，如决定私了，应确保有第三方见证或记录，以防后续出现纠纷。最后，私了协议应明确双方的责任划分、赔偿金额及支付方式等关键条款，并双方签字确认。在私了过程中，务必保留好相关证据，以备不时之需。
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从法律角度，开车撞倒摩托车后，你可能需要承担以下责任：一是民事责任，即根据事故责任认定，对摩托车驾驶员及乘客因事故造成的财产损失和人身伤害进行赔偿；二是行政责任，如事故中被认定为交通违法行为，可能面临交警的行政处罚，如罚款、扣分等；三是刑事责任，若事故造成严重后果，如人员伤亡，且被认定为交通肇事罪，则可能面临刑事处罚。具体责任承担需根据事故具体情况和法律规定进行判断。